基本函数性质知多少（三）---奇偶性

发布日期：2021-03-31    浏览量：550

二、奇偶性

1、定义：如果函数的定义域内任意的x，都有，那么就叫做偶函数；如果如果函数的定义域内任意的x，都有，那么就叫做奇函数。判断非奇非偶函数的最基本条件是看定义域是否关于原点对称。

为方便大家记忆，有如下流程图：

2、性质

（1）奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称；

（2）若奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0；若一个函数既是奇函数又是偶函数，则=0；

（3）若是偶函数，则；

（4）奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数；奇函数×奇函数=偶函数；

偶函数×偶函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数；奇函数÷偶函数=奇函数；

偶函数÷奇函数=奇函数

考试中对奇偶性的考察只需能判断函数是奇函数或是偶函数，并能根据奇偶性进行简单的计算。

【例1】函数上为奇函数，则a=（    ）

A.-1     B.-2     C.-3     D.0

【解析】此题便是在考察函数定义域的问题，既然要使该函数为奇函数，则其定义域必定是关于原点对称的，即，选B.

【例2】已知函数，，则的奇偶性依次为（    ）

A．偶函数，奇函数  B．奇函数，偶函数

C．偶函数，偶函数  D．奇函数，奇函数

【解析】先判断函数的定义域，然后再判断与之间的关系，即可得出正确的选项；本题中，而，所以是奇函数，而的定义域是对称的，通过它的图象可判断是奇函数.所以选D.

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